Análise da Função f(x,y) = x² + y²

f(x,y) = x² + y²
Domínio: D = {(x,y) ∈ ℝ²: x² + y² ≤ 1}

1. Características do Domínio

O domínio é o disco unitário fechado centrado na origem:

2. Propriedades da Função

Continuidade

f(x,y) = x² + y² é contínua em todo ℝ², portanto é contínua no domínio D.

Diferenciabilidade

A função é diferenciável em todo ponto do interior de D.

∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 2y

3. Análise de Valores Extremos

Ponto Crítico Interior

∇f = (2x, 2y) = (0, 0) ⟹ x = 0, y = 0

Ponto crítico: (0, 0) com f(0, 0) = 0

Análise na Fronteira

Na fronteira x² + y² = 1:

f(x,y) = x² + y² = 1 (constante)

Todos os pontos da circunferência têm o mesmo valor: f = 1

4. Conclusões

Extremos Absolutos:

  • Mínimo absoluto: f(0, 0) = 0
  • Máximo absoluto: f(x, y) = 1 para todos os pontos (x, y) na circunferência x² + y² = 1
  • Imagem da função: [0, 1]

Visualização 3D

🏇 Galeria de Cavalos no Turfe

Cavalos Reais de Corrida

Puro-sangue em plena corrida

Corrida no turfe clássico

Velocidade e elegância

Uma Musume Style 🌸

Velocidade com estilo anime

Corrida mágica no turfe

Graça e determinação

5. Interpretação Geométrica com Cavalos 🐎

A função f(x,y) = x² + y² agora é representada por uma manada de cavalos mágicos! No disco unitário:

Legenda da Visualização:

🐴 = Ponto mínimo (0,0) | 🐎 = Valores intermediários | 🦄 = Valores máximos (borda)

A "altura" Z da função determina o quão mágico é o cavalo! Uma verdadeira transformação matemática! ✨